在博彩业和投资学中有一条著名的凯利公式，如果我们知道了所参与的游戏的可能发生的各种结果的概率以及在各种结果下我们的赔率，那么根据凯利公式我们可以计算出一个最佳的投注比例（或者说是仓位）。在这个最佳投注比例之下，游戏参与者可以获得最高的长期盈利。凯利公式本身非常优美,其推导过程也并不复杂，自其被发现以来在投资学中有着非常广泛的应用。这些都不是我们要介绍的主要内容，在这里我们要分享的是关于凯利公式推导出的结论的深刻含义以及其在债券市场的投资中给予我们的启示。

经过推导凯利公式，我们可以得到两个结论：1，一个游戏（或者一个市场譬如说债券市场）是否值得参与的标准之一，是其期望收益率大于零；2，对于期望收益率大于零的游戏，如果期望收益率相同，那么参与赔率差异比较大（赢了赚得多输了赔得也多）的游戏，长期来看的资金增长速度要慢。

第一个结论似乎很直观，我们暂且不去深入探讨。第二个结论则很有趣，它意味着可能出现这样一种情况：存在两个游戏，其中一个期望收益率更高但是赔率差异也比较大（赢了赚得多输了赔得也多）；另一个期望收益率低，可是赔率差异也低（赢了赚得少输了赔得也少）。直观上，如果只玩一次，那么第一个游戏的预期收益率要更高，似乎更值得赌一把。可是，凯利公式告诉我们，如果我们按照最优投资比例不断地参与上面两个游戏，有可能第二个游戏的资金增长速度要高于第一个游戏！这好像与我们的直观感受有些不符，但是对于长期参与市场的投资经理而言，这个现象却是市场最基本的特征之一：那就是用更多的仓位去积累确定性高的小赢利、利用复利去实现资金增长的投资方式，要胜过参与高风险的投资但是因为亏损大所以只能低仓位参与的投资方式。上面这段话可能会令人费解，原因正是我们假定都按照凯利公式得出的最优仓位来参与这两个游戏------第一个游戏只能长期玩小钱，而第二个游戏可以一直重仓参与。没有理解凯利公式的这个结论，或者没有按照凯利公式进行长期投资的结果可能是很悲惨的：比如长期重仓参与商品期货市场（赔率波动远大于债券市场）的投资人，其结果可能是短期内暴富，但是后来必然发生的一次巨亏会使得他们之前的盈利全部损失殆尽，平仓出局。如果我们想对第二个结论再有更感性的认识，也可以不那么贴切的理解为：风险过大的游戏不值得参与，因为可能血本无归！或者是索罗斯投资的第一原则：守护好你的本金，不要（大）亏损。

在债券市场的投资中，如果参与的方式是交易收益率曲线（参与不同期限的债券投资），不同的期限恰好构成了一系列游戏：1年的、3年的、5年的、7年的、10年的等等。在任何一个时期，每个期限的收益率自然有其上涨和下跌的概率（我们假定这个概率是客观存在的，或者也可以认为是我们的主观概率），利用不同期限的久期经过简单计算，我们也很容易知道每个期限在收益率上涨或者下跌之后的我们的赔率（即债券价格的变化）。显然，在一般情况下，1年期的游戏的预期收益率是低于10年期游戏预期收益率的（因为收益率曲线有斜率，1年利率低于10年的利率），但是1年期游戏赔率的波动也要远小于10年期游戏的赔率（久期长的债券价格波动更大）。所以，在一般情况之下，我们似乎不太容易判断1年期的游戏和10年期的游戏哪个更加值得参与。

可是，市场并不永远处在一般的情况之下，当收益率曲线在低位平坦甚至倒挂时（1年收益率高于10年收益率），尽管我们不知道收益率曲线未来形态的变化，但是当我们结合基本面的分析推测收益率曲线的斜率复常态的可能性更大时，那么我们队此时1年期和10年期游戏的概率和赔率就都有了更好的把握。此时，依照凯利公式，根据上文结论二，我们可能发现1年期的游戏是更值得参与的。同理，当收益率曲线在高位平坦时，根据基本面的分析和凯利公式的结论，我们也可以根据曲线变化的概率得出10年游戏或许是更好的选择。总而言之，尽管在大部分时间里，收益曲线游戏是令人感到困惑的，可是总会出现那么一些时刻，我们可以根据凯利公式的结论发现到那个明显更值得参与的期限------这种情况出现时，可能是着债券市场牛熊转换的时点。

如果把上面一段的分析简单地理解为在低利率时缩短久期或者在高利率时拉长久期的操作，无异于把凯利公式等同于高抛低吸。这种理解毫无意义同时也是对凯利公式的极大误解。发生这种误解的原因，正是源于投资者在投资生涯中应用凯利公式时会遇到的两个难点：一、提高主观概率的准确性，二、理性地坚持只用最优仓位来参与市场。前者代表投资者对市场的理解和认知程度，后者则意味着投资者战胜自身恐惧、贪婪与从众心理的能力。凯利公式虽然威力巨大，但投资者想在市场中成功地应用它，内外双修提升自己是唯一的方法。

易方达基金  石大怿

2017年1月

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